1000^999，999^1000谁大？
导语
记得高中时，老师曾经出过一道题目，1000的999次方和999的1000次方谁大，凭直觉，很多人都说当然是999的1000次方更大，至于为什么，当时很少有同学知道，很多人都这样想的，底数相差1，次方大1的数更大。当年，老师带着大家做了深入的思考和分析，总结出来了规律和原因，结果证明直觉并不可靠。直至最近，我看到一个三进制计算机性能更好的视频，突然把这两个知识串联起来了，再此做一个分享
抽象&分析
当年老师首先要求我们进行题目抽象，1000^999，其实就是有999个1000相乘，这些数的和等于1000*999=999000，而999^1000，就是1000个999相乘，这些数的和也正好是999000，于是，题目就变成了把一个正整数拆成n个正整数的和，是它们的积最大？
那么如何解决抽象出来的问题呢，999000数字太大，不好拆解，那么就使用个小点的数字，比如12，12能怎么拆呢，无非下面几种情况：
12=1+1+1……+1，一共12个1相加，积为1
12=2+2+2……+2，一共6个2相加，积为64
12=3+3+3+3，一共4个3相加，积为81
12=4+4+4，一共3个4相加，积为64
12=5+5+2，积为552，积为50
……
还有其他拆解方法，但是显然，最大的就是拆解为4个3，这时我们就发现了，之前直觉并不对，为什么？因为2^6和3^4相比，次方数2^6比3^4大2，底数小1，但是最后的结果是3^4更大。不管你后面怎么拆，3^4的值最大。仔细看看拆分的方案，规律可以总结为：
- 拆一个正整数为n个正整数相乘，尽可能地多拆3出来，不能拆3，就拆2或者4，坚决不能拆1；
- 如果拆出来的数比3大的越多，乘积就越小，比如上面的4^3和5%2等比3大的拆分方案；
知道了这个规律后，就非常容易判断1000^999和999^1000哪个数更大，显然，999比1000更接近3，999^1000更大。那么上面的规律如何证明呢，我记得老师噼里啪啦写了推导，证明过程如下：
N = x + x + …… + x，把大N拆成n个x的和，n=N/x，要使得f(x) = x^n=x^(N/x)最大。
如果要求f(x)最大，lnf(x)也满足最大，两边取对数lnf(x) = lnx^(N/x)，即lnf(x) = (N/x)*lnx。
求导数[lnf(x)]' = N * (1-lnx) / x^2，显然当x > e，导数小于0，是减函数，x < e，导数大于0，是增函数，所以x = e时，lnf(x)最大，e = 2.71818，显然最接近e的正整数就是3，所以规律得证。
联想
最近又看到一个视频，讲得是三进制计算机性能最好，我突然联想到这个曾经学过的知识，后来仔细想了下，视频想表达的观点，应该是三进制比二进制或者十进制表达能力更强，相同的内存大小，如果是三进制，可以表达的数最多。小时候都玩过一个游戏，一组珠串，假设给你100颗珠子，怎样分配，可以使得表示的数字数量最多，结果就是下图：
每个柱子上留三颗珠子，可表示3^324个数（计算机里面就是3^324个状态），表达的数量最多。没想到，三进制表达能力最强，在我高中时，老师就把原因告诉了我，哈哈。所以学好数学，培养好逻辑思考能力，真的是终身受用，加油吧，少年。
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