如何公平地切蛋糕

导语

作者：李永乐老师官方 如何公平的切蛋糕

什么是公平？

在生活中我们会遇到各种纷争，小时候和兄弟姐妹争抢一份蛋糕，长大了到单位和同事互相举报。世界上的许多纷争，都来源于“不公平”和“嫉妒心”。

“不公平”就是感觉自己应得的没有得到，“嫉妒心”就是虽然自己得到了应得的，但是其他人得到的更多。如果设计一种方案，让每一个人都感觉自己拿到了最多的利益，纷争就会少很多。就好像把一个蛋糕分给几个人，如何才能让所有人都满意呢？

最近我看了一本书《如何切蛋糕以及其他数学问题》，颇受启发。许多管理者也许可以借鉴这个方法，一些社会矛盾也可以因此化解。下面，就让我带着大家了解一下“切蛋糕问题”吧！

一. 两人分蛋糕：我切你选

两个小孩分一块蛋糕，如果父母帮着切，经常会有孩子大喊：他的那一块比我的大。甚至有的时候，两个孩子都这样喊。

这时我们可以这样做：让一个孩子决定如何把这块蛋糕切成两份，让另一个孩子先选。切蛋糕的孩子为了不吃亏会尽量把蛋糕分得均匀，选蛋糕的孩子具有优先权，谁也不会觉得吃亏了。这就是经典的“我切你选”方式。

让我们举一个更生活化的例子：一位老人去世了，留下了一套房产和一百万现金，老人有两个儿子，但并没有留下遗嘱。于是，兄弟俩决定对房子进行评估，然后把包括房产和现金的总遗产平分。

不过，在评估房产价格时，兄弟俩产生了不同的意见——想要房子的哥哥把房产价格评估得很低，这样他除了拿到房子，还可以获得一大笔钱；不想要房子的弟弟把房产价格评估得很高，如果哥哥要房子，还要补偿弟弟一笔钱。这可怎么办？

其实这个问题不难解决，采用经典的“我切你选”的方式就可以了。首先，哥哥将房产价格进行评估，然后将总财产分成两份。一份包含房产和一部分现金，另一部分完全是现金。然后，让弟弟先选继承哪一份，剩下的一份留给哥哥。

对于哥哥来讲，他知道自己是后选择的，为了防止吃亏，他必须将遗产分配得尽量公平。如果一边明显占优，弟弟完全可以选择这一份更优厚的遗产，让哥哥吃亏。

假如哥哥刚好要结婚买房，他去市场上看了一圈，发现买相同的房子大约需要50万元，于是他就会把房子和25万现金作为一份遗产，把另外75万现金作为另外一份遗产，这两份遗产对哥哥来讲，效用都是1/2。无论弟弟如何选择，哥哥都不会感到吃亏。

对于弟弟来说，也许他在国外读大学，以后也不准备回老家工作了，所以这个房子的作用不大，他更需要钱维持自己在国外的学业。于是他评估：老人的房子只值25万，这样，第一份遗产对弟弟来讲就值50万，第二份遗产有75万，效用分别是2/5和3/5，显然，弟弟会选择第二份遗产，把第一份遗产留给哥哥。

兄弟二人都觉得自己拿到了至少1/2的遗产，这就是“公平”，而且，别人拿到的都不比自己更多，这就是“无嫉妒”。由于两人对房产价值的看法不同，弟弟还觉得自己比哥哥多拿了不少，非但不会有纷争，反而因为内心惭愧而让兄弟关系变得更加和睦。

这种“我切你选”的方法，从几千年前就已经有人采用了。比如《圣经》中有这样的记载：亚伯拉罕与洛特分配迦南之地，为了公平，亚伯拉罕把这块地分为东西两块，并让洛特先选。

另一个应用是在《联合国海洋法公约》里。发达国家具有对公海矿藏进行开采的能力，但是公海矿藏应该属于全人类。于是，联合国设计了这样一种方案：如果有国家申请对公海区域进行矿产开发，需要提交两个类似区域的评估报告，联合国将在两个区域中选择一个，保留给发展中国家，另一个允许发达国家进行开采。为了自身利益，发达国家必须公正地分割区域，并如实提交报告——否则，联合国可能选择那个矿产资源更丰富的海域保留给发展中国家。

一个好的制度，不光能让人说实话，还能让所有人都觉得自己占了便宜。现在，你应该了解如何让两个人分配利益了。

二. 三人切蛋糕：公平但是有嫉妒

现在我们把问题升级：假如三个人要分一块蛋糕，又该怎么做呢？1961年，数学家杜宾斯和斯巴尼尔提出了一种“移动刀法”，可以让三人“公平的”分蛋糕。

假如蛋糕是一个长条，左侧有更多的草莓，而右侧有更多的奶油。现在让一个人拿着刀，缓慢地从左向右移动，三个等着分蛋糕的小朋友A、B和C紧紧盯着刀的位置，计算着自己最喜欢的蛋糕部分。

突然，小朋友A喊“停”！于是刀就在这里切下一块，并把这一块分给喊停的小朋友。随后，刀口继续移动，小朋友B又喊了一声“停”，刀又会在这儿切下一块给B，余下的一块就是C拿到的蛋糕了。

让我们来分析一下三个人的内心活动：每个人都希望自己拿到不少于1/3的蛋糕，这才是公平的。

A可能特别喜欢草莓，而草莓位于蛋糕的左边。当刀移动时，A看到自己喜欢的部分被包含进来，内心激动万分，当他认为这一部分的蛋糕效用已经超过了1/3时，就会迫不及待地喊停，他已经不吃亏了。

B对草莓和奶油具有同样的喜好，当A喊停时，在B的眼中，这一块蛋糕只1/4的效用，所以B会选择继续等待。A拿走第一块后，B认为余下的蛋糕还有3/4，只剩下2个人，每人一半，自己可以拿到3/8。当刀口移动到余下的蛋糕一半的位置时，B就会喊停，拿走这一部分。

C特别讨厌草莓，又特别喜欢奶油，所以他认为A拿走的蛋糕只有1/5的效用，B拿走的蛋糕只有1/4的效用，余下的部分有11/20，结果全都被自己拿走了，C是最高兴的。

有人会有疑问：为什么A在刀口到达1/3效用的位置时一定要喊停呢？假如他再等一会儿，不就能拿到更多的蛋糕了吗？

他这样做是有风险的，因为在这个时刻，对A来讲，左侧蛋糕价值1/3，右侧蛋糕价值2/3。A喊停，可以保证拿走1/3的蛋糕；如果A选择等待，右侧部分将会少于2/3，假如此时被B喊了停，A将只能和C一起分配不到2/3的蛋糕，很有可能，A将没有机会获得1/3的蛋糕了。因此，A一定会诚实地说出自己的感受，这样他才能获得确定的、公平的蛋糕，对于B来讲，情况也是类似。

可是如果我们继续分析，就会发现这种方法尽管“公平”，却不是“无嫉妒”的。设想：在蛋糕分配完毕后，三个人重新检视了别人拿到的部分。

• C感觉A拿到1/5，B拿到1/4，自己拿到11/20，自己拿到的最多，非常开心；
• B感觉A拿到1/4，自己拿到3/8，C拿到3/8，自己和C拿到的并列最多，心情也不错。
• A看了看B和C拿到的部分，假如他觉得B拿到的部分实在糟透了，价值只有1/4，但是C因为一直没有喊停，反而拿到了最大的一块，价值是5/12（=1-1/3-1/4），比自己的1/3（=4/12）还要大！
  

这时，A的内心就不平静了。虽然我拿到了全部蛋糕的1/3，我并没有吃亏，但是居然有人比我拿得多，这就不行！于是嫉妒心就产生了。

这样的情景在生活中并不少见。一伙儿匪徒去抢劫，大赚了一笔，每个人都到分了不少钱，远远超过了自己的预期。可是，还是有匪徒认为别人拿到的超过了自己，于是产生了内讧。有些领导干部，明明自己贪污，反而去纪委举报同事，因为他觉得别人比自己贪污得更多，自己很冤枉。

也许你在单位中是一名兢兢业业的技术工人，有一天获得了一点荣誉或者奖金，立刻就有人红着眼睛在背后议论你，你感觉到很委屈，自己明明只拿到了应得的部分啊！为什么还会被人嫉恨呢？还是那句话，因为每个人对利益的看法不同。你认为你只拿到了自己应得的部分，但是其他人却可能觉得你比他拿的多得多。现在，你明白了吗？

三. 如何消灭嫉妒心？

三个人还有更好的分蛋糕方法吗？既要公平，还要没有嫉妒，让每个人都觉得自己拿到的部分最大？

这并不是一个容易的数学问题。在1960年代，数学家塞尔福里奇和康威提出了一个方案——三人公平无嫉妒的分蛋糕方法。

首先，让A将蛋糕分成三份，并且让B和C先选，A拿余下的那一块。因为A知道自己将会最后选择，所以他一定会尽力将三块蛋糕分成均等效用的三份，否则吃亏的一定是自己。

由于每个人的喜好不同，在B和C眼中，三块蛋糕并不是均等的，而是有大有小，他们都会选择自己认为最大的那一块。如果B和C的选择不同，A拿余下的一块，那么问题就解决了。此时B和C都认为自己占了最大的便宜，而A认为三块一样大，也没有人超过自己。三个人都非常开心，这种分配方案是公平且无嫉妒的。

不过，如果B和C都看上了同一块蛋糕，那问题就复杂了。比如，B和C都认为右边的一块蛋糕最大，他们就必须遵循下面的步骤分蛋糕：

• 由B操刀，将最大的一块（右侧蛋糕块）再切下来一小条，使得这块蛋糕余下的部分与B眼中第二大的蛋糕块一样大。
  
• 不考虑切下来的小条，按照C、B、A的顺序选择三个大块的蛋糕。
• 如果C没有选择B切过的那一大块蛋糕（右侧蛋糕），那么B必须自己拿走这一块。

这个过程类似于新闻上4S店的新车争夺战。一名男顾客和一名女顾客同时看中了一台新车争执不下，此时男顾客飞起一脚把新车的车灯踹碎了，并问女顾客：这辆车你还要不要？你要的话我还继续踹。此时，如果女顾客选择退出，男顾客就必须自己把这辆车买走，否则4S店是不会同意的。

按照这个步骤，三人在第一次分配的过程中，都感觉自己是占便宜的。

• C先选，C一定选择自己心目中最好的一块，他没有理由嫉妒别人；
• B再选，因为经过自己操刀，三块蛋糕中有两个蛋糕相同而且最大（比如中间的和右侧的），C不可能把两块都拿走，所以B总有机会拿走最大的两块中的一个；
• A最后选，原本他将蛋糕切成了三个一样大的，现在由于B将最右侧的蛋糕又切下来一块，最右侧的蛋糕变小了，左侧和中间的蛋糕一样大。不过好在，如果C没有把最右侧的蛋糕拿走，按照规则B就会把这一块拿走，这块小的蛋糕一定不会留给A，A也非常开心。
  

大块分完了，现在开始分切下来的一小条。如果刚才，C拿走了最右侧的一块（那个被B切过的）蛋糕，那么就继续由B将这一小条分成均匀的三块，并且按照C、A、B的顺序选择这三块，这样同样是无嫉妒的。

• C第一个选，所以他会选择自己心目中最好的那块，不会嫉妒别人。
• A比B先选，所以A不会嫉妒B；又因为在A心中，现在分的这一小条，本来就是从刚刚被C选走的那一块（最右侧）的蛋糕上分割下来的，在A的眼中，C这个傻子上一次选了最小的，现在就算把这三个部分全都给C，C也只是拿到跟自己一样多的蛋糕而已。于是，A也不会嫉妒C。
• B最后选，他一定会尽力将三块分得均匀——无论自己拿到哪一块，都不会嫉妒别人。

这样，整个蛋糕被分配完毕。三个人都觉得自己拿到了最大的一块，这样就不会有人嫉妒别人，也不会有人到上级部门举报了。这真是一个精妙绝伦的方法！

如果刚才是B选择了被切过的蛋糕块（最右侧），那么就由C来分配这小块，再按照B、A、C的顺序选择，结论和刚才一样。

如果人数比三个人还多，又该怎么做才能公平且无嫉妒的分蛋糕呢？1995年，数学家布拉姆斯和泰勒证明了无论有多少人，都存在这样的分配蛋糕方案。只是，在人数比较多的时候，这个分配方法非常的复杂。

到了2016年，阿奇兹和麦肯奇又证明了N个人公平且无嫉妒的分配一个蛋糕，所需要的方法数的上界是：

这么多种。

尽管这个问题在数学上的解非常复杂，但是它依然能给我们看待社会问题很多的启发。比如作为公司员工，我们会明白自己为何会嫉妒别人，以及为何会被别人嫉妒；作为公司管理者，我们自认为是客观公正的，但是员工却都觉得自己偏心。

家长们自认为自己是客观公正的，呕心沥血地设计方法分蛋糕，反而经常会落个里外不是人的结局。相反，设计一个合力的制度，让孩子们参与到分蛋糕的过程中，没准能获得一个让所有人都满意的结果。